Matematică
x231
2015-11-11 14:01:54
Cum calculez ecuatia: sin7x = sin5x ?
Răspunsuri la întrebare
danuvasileion
2015-11-11 17:29:07

[latex]sin7x=sin5x Rightarrow \\sin(6x+x)=sin(6x-x)[/latex] Aplicăm formulele: [latex]oxed {sin(a+b)=sina cdot cosb+sinb cdot cosa}[/latex] și [latex]oxed {sin(a-b)=sina cdot cosb-sinb cdot cosa}[/latex] Rezultă că: [latex]sin6x cdot cosx+sinx cdot cos6x=sin6x cdot cosx-sinx cdot cos6x[/latex] Observăm că atât în membrul stâng, cât și în membrul drept, primul termen este același, deci îl scădem și din stânga și din dreapta, ca să nu ne mai încurce, și ne rămâne: [latex]sinx cdot cos6x=-sinx cdot cos6x[/latex] Trecem totul în membrul stâng: [latex]2sinx cdot cos6x=0ig /:2\\sinx cdot cos6x=0[/latex] Știm că un produs a doi factori este 0 când unul dintre factori este 0, așa că luăm separat fiecare factor și îl egalăm cu 0.  [latex]sinx=0[/latex] Acestă ecuație are loc când x este un multiplu întreg de [latex]pi[/latex], deci: [latex]x=k pi, ~unde~k in mathbb Z[/latex] A doua soluție e dată de: [latex]cos6x=0[/latex] Funcția cosinus este egală cu 0, când argumentul ei este de forma [latex] dfrac{pi}{2} +kpi,~unde~k in mathbb Z[/latex]. Poți verifica asta dându-i lui k valori. Pentru k=0, [latex]cos(frac{pi}{2} +kpi)=cos(frac{pi}{2})=0[/latex] Pentru k=1, [latex]cos(frac{pi}{2} +kpi)=cos(frac{pi}{2}+pi)=cos(frac{3pi}{2})=0[/latex]. Și așa mai departe... Deci am stabilit că argumentul funcției cosinus are forma [latex]dfrac{pi}{2} +kpi [/latex]. În cazul nostru, argumentul este 6x, care trebuie să fie de forma stabilită anterior. Deci: [latex]6x=dfrac{pi}{2} +kpi Rightarrow 6x= dfrac{pi+2kpi}{2} Rightarrow x= dfrac{pi+2kpi}{12} Rightarrow x= dfrac{(2k+1)pi}{12}[/latex] În concluzie, soluțiile ecuației inițiale sunt: [latex]x=k pi, ~unde~k in mathbb Z[/latex] și [latex]x= dfrac{(2k+1)pi}{12}, ~unde~k in mathbb Z[/latex] Poți verifica dându-i lui k valori și înlocuind în ecuația inițială.

Adăugați un răspuns