Matematică
Aluss
2015-11-11 20:06:09
[latex]\ $Calculati: $(-1)^ig{e}=$ $? \ \ $Stiind ca $ eapprox 2.71828182846 \ $- $e$ (numarul lui Euler) ightarrow $ numar irational transcendent.[/latex] Poate fi calculat? Si daca nu, de ce?
Răspunsuri la întrebare
stefanm04
2015-11-12 00:01:31

Fiind in liceu, o sa fac urmatoarele 2 presupuneri: stii ce sunt numerele complexe, stii ce este derivata unei functii.Pentru a calcula orice fel de numere transcendente care se afla la exponent, poti sa te folosesti de formula lui Euler, care spune ca:[latex]e^{ix}=cos{x}+i*sin{x}[/latex] Pentru a demonstra aceasta formula, hai sa ne uitam la urmatoarea functie[latex]f(t)=e^{-it}(cos{t}+isin{t})[/latex] Hai sa derivam aceasta functie[latex]f^{prime}(t)=(e^{-it})^{prime}(cos{t}+isin{t})+e^{-it}*(cos{t}+isin{t})^{prime}=-ie^{-it}(cos{t}+isin{t})+e^{-it}(-sin{t}+icos{t})=-ie^{-it}cos{t}-i^{2}e^{-it}sin{t}-e^{-it}sin{t}+ie^{-it}cos{t}=e^{-it}sin{t}-e^{-it}sin{t}=0[/latex] unde m-am folosit de [latex]-i^{2}=-(-1)=1[/latex] [latex]sin^{prime}{x}=cos{x}[/latex] [latex]cos^{prime}{x}=-sin{x}[/latex] Daca derivata este 0. inseamna ca functia respectiva este egala cu o constanta[latex]f(t)=C[/latex] indiferent pentru t numar realDaca t=0 atunci avem[latex]f(0)=e^{0}(cos{0}+isin{0})=1(1+0i)=1[/latex] atunci pentru orice t real avem relatia [latex]f(t)=1Rightarrow e^{-it}(cos{t}+isin{t})=1Rightarrow cos{t}+isin{t}=frac{1}{e^{-it}}Rightarrow e^{it}=cos{t}+isin{t}[/latex] care este relatia lui Euler de mai sus Acum sa vedem cat da aceasta relatie pentru [latex]t=pi[/latex] [latex]e^{ipi}=cos{pi}+isin{pi}=-1+i0=-1[/latex] Atunci putem scrie relatia din enunt [latex](-1)^{e}=(e^{ipi})^{e}=e^{iepi}[/latex] apoi folosindu-ne din nou de relatia lui Euler [latex]e^{iepi}=cos{epi}+isin{epi}=(-1)^{e}[/latex] si de-aici poti calcula valoarea complexa cu ajutorul functiilor trigonometrice 

Luks
2015-11-12 00:02:46

Rezolvarea este in poza de mai jos!!!!!Foloseste formula aceea a lui Euler!!Succes!

Adăugați un răspuns